ABSTRACT:
A Fourier transform perturbation method is developed and used to obtain uniformly valid asymptotic approximations of the solution of a class of one-dimensional second order wave equations with small non-linearities. Multiple time scales are used and the initial-value problem on the infinite line is solved by Fourier transforming the wave equation and expanding the Fourier transform in powers of the small parameter. The non-linearity involves only the first partial derivatives of the dependent variable and the determination of the leading approximation is reduced to the solution of a pair of coupled non-linear ordinary differential equations in Fourier space. Examples are given involving a convolution non-linearity and a Van-der-Pol non-linearity.ZusammenfassungMit Hilfe einer Perturbationsmethode für Fouriertransformationen werden gleichförmig gültige, asymptotische Näherungslösungen für eine Klasse eindimensionaler Wellengleichungen zweieter Ordnung mit schwachen Nichtlinearitäten erarbeitet. Mehrfache Zeitmasstäbe werden verwendet und die Anfangswertaufgabe an der unendlichen Linie wird mit Hilfe der Fouriertransformation der Wellengleichung und der Entwicklung der Fouriertransformation nach Potenzen des kleinen Parameters gelöst. Die Nichtlinearität enthält nur die erste partielle Ableitung der abhängigen Variablen und die Bestimmung der führenden Annäherung wird auf die Lösung zweier gekoppelten, nichtlinearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen im Fourierschen Raum zurückgeführt. Es werden Beispiele angegeben, die eine Konvolutionsnichtlinearität und eine Van der Polsche Nichtlinearität enthalten.
International Journal of Non-Linear Mechanics 12/1981; 16(2-16):117-128. DOI:10.1016/0020-7462(81)90003-2
W A T
